一种改进的小波模极大值滤波方法

Abstract:The classical wavelet transform modulus maxima using Mallat’s alternating projection method has a large amount of calculation and slow convergence speed. It is difficult to meet the need of real time signal processing in the wavelet signal recovery software. Considering the slow reconstruction speed of wavelet coefficients from maxima modulus this paper has proposed improvement method combined with the wavelet threshold method. The simulation experimental results show that, the improved wavelet modulus maxima can improve the calculation speed, but also ensure the better filtering effect.

Key words: Wavelet; alternating projection; filter; improve;

0 引言

在小波多尺度方法恢复内爆炸超压信号的研究中，小波模极大值恢复超压信号的能力最强。目前利用模极大值重构小波系数是一个比较困难的问题，主要有交替投影法，RBF(Radial-Basis-Function)网络法^[1]，Poc算法^[2]等。这些算法的共同特点是由于收敛精度不高，计算量大^[3]。且由模极大值系数重构小波系数的Mallat交替投影算法复杂^[4]等问题，难以满足信号处理的现场实时性需要。本文主要研究对小波模极大值方法进行改进，在保证具有较好的滤波效果基础上，提高计算速度。

1  小波变换模极大值滤波理论

在数学上函数的奇异性是指函数本身在某处存在间断点或其某阶倒数不连续，通常用Lipschitz指数来度量。设n为非负整数，，在处具有Lipschitz指数^[5]的充要条件是存在常数

A和以及n阶多项式，使得对于任意的，都有越大，说明在处越光滑。函数如果在一点连续可微^[7]，则该点的Lipschitz指数为1；如果在某一点处可导，但导数有界而不连续其Lipschitz指数仍为1；如果函数有界但不连续，则其Lipschitz指数为0；

1992年，Mallat发表了著名的论文^[8]“Singularity detection and processing with wavelets”，建立了小波变换系数与描述函数奇异性Lipschitz指数之间的数学关系。设小波函数是连续的实函数，且具有衰减性：，在区间上是一致Lipschitz指数，则存在常数，使得，其小波变换满足^[9]

反之，如果，的小波变换满足式(2)，则称在区间上具有一致的Lipschitz指数。在二进小波变换下，式(2)变为连续小波变换系数模极大值的定义^[4]：在某一尺度上，小波变换系数如果有则称在有局部极大值。如果对于，邻域中任一点，都有，且在左右邻域不能同时满足，则为小波变换的极大值点，所有尺度空间上模极大值点的连线称为模极大值线。由式(3)可知，当，小波变换模极大值随着尺度的增加而增大；反之，当时，小波变换模极大值随着尺度的增加而减小。由于白噪声是一个处处奇异的随机分布，它的Lipschitz指数是一个负值，即而有用信号的Lipschitz指数通常为正。它们决定的小波变换系数的模极大值在各个尺度上具有不同的传播特性。随着分解尺度的增加，由噪声控制的模极大值迅速衰减，而有用信号的模极大值增大。根据有用信号和噪声的模极大值的传播特性不同，可以有效区的分出噪声和有用信号。这就是小波变换模极大值滤波恢复信号的理论基础。

2  基于Mallat交替投影小波模极大值滤波算法

(1)对采样信号进行二进小波变换，一般为4～5个分解尺度，并求出每一尺度上小波变换模极大值。对于离散的小波变换，若有

式中，两式不能同时取等号，则称为小波变换在处取得极值点。

(2)在最大分解尺度上作用一阈值，仅保留大于该阈值的小波变换极大值点。

(3)在尺度上寻找尺度上保留下来的模极大值点的传播点，即去除噪声控制的模极大值点，保留有用信号产生的极大值点。在尺度上极大值点位置，构造一个邻域。其中为尺度上的第个极值点，为仅与尺度有关的常数。在尺度上保留落在每一邻域上的极大值点，去除落在邻域外面的点，从而得到尺度上新的极值点。然后令，重复此过程直到为止。

(4)在上保留对应于处的极大值，去除其它位置的模极大值。

(5)由保留下来的极大值点利用Mallat交替投影法重构小波系数，最后利用重构的小波系数恢复信号。由于小波模极大值滤波存在收敛精度不高，计算量大，且由模极大值系数重构小波系数的Mallat交替投影算法复杂^[3,4,10]等问题。小波域阈值滤波具有计算量小的优点，可以将小波域阈值滤波思想用到小波模极大值滤波中。在前面小波模极大值滤波算法中，将算法做适当修改。

3  本文改进小波模极大值滤波算法

(1)对采样信号进行二进小波变换，一般为4～5个分解尺度，得到离散平稳小波变换系数。

(2)结合小波域阈值滤波方法，确定阈值，对各个分解尺度上的小波系数作用阈值。去除小于该阈值的系数。

(3)求小波系数模极大值。根据保留下来的小波变换系数，求出各尺度上的模极大值。

(4)在尺度上寻找尺度上保留下来的模极大值点的传播点，即去除噪声控制的模极大值点，保留有用信号产生的极大值点。在尺度上极大值点位置，构造一个邻域。其中为尺度上的第个极值点，为仅与尺度有关的常数。在尺度上保留落在每一邻域上的极大值点，去除落在邻域外面的点，从而得到尺度上新的极值点。然后令，重复此过程直到为止。

(5)在上保留对应于处的极大值，去除其它位置的模极大值。

(6)在保留下来的模极大值位置上保留步骤(2)中的作用阈值后的小波系数，由小波系数重构恢复原始信号。

这样，由于在求小波系数模极大值前，对小波系数作用了阈值，去除了大量的噪声控制点，减少了模极大值的搜索过程，另外本算法没有使用交替投影算法，减少了计算量；

4  实验仿真

根据信号X，Y的相关系数^[11]定义：

式中，相关系数为时，表明两信号完全相关；当为0时表明完全不相关。越接近于1，相关性越强。仿照上式，根据采样信号离散性，定义原始信号与滤波信号的相关系数为

式中为原始信号，为滤波信号，N为信号的长度。越接近于1，原始信号与滤波信号的相关性越强，即滤波信号越接近原始信号，滤波效果越好。

另外，定义变量(Root Mean Square Error)即均方根误差，作为衡量滤波信号效果的评判指标。

N为采样信号长度。越小，反映了滤波信号的能力越强。

表1 小波模极大值交替投影法及改进后滤波信号的结果

表2小波模极大值交替投影法及改进后滤波信号的结果

从图1以及图2可以看出改进后的小波模极大值滤波恢复方法能够有效去除噪声影响，而且由于改进小波模极大值恢复方法不需要使用交替投影算法，使得计算速度得到显著提高；另外，根据表1及表2可知，改进后的小波模极大值滤波信号与原始信号的相似系数较大，说明滤波信号也更接近于真实信号。

4 结论

综合以上分析对比可知，本文改进的小波模极大值滤波算法，结合了小波阈值滤波思想，在由模极大值系数重构小波系数过程中，不需要使用Mallat交替投影法，提高了计算速度，同时具有较好的滤波效果，有效地恢复出了原始信号。

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